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Combien de carrés dans un quadrillage 10*10 ?

Rédigé par Sbgodin Aucun commentaire
Soit un quadrillage de 10 points sur 10 points. Combien y a-t-il de carrés dont les sommets sont des points du quadrillage ?

La question provient de Science4All sur Youtube pour le Défi Lê 5. J'ai répondu via un programme qui en trouve 825.

Plutôt que de faire des calculs de dénombrement, j'ai opté pour une recherche exhaustive. Toutes les configurations de quatre points distincts sont examinées une seule fois. Le carré comportant quatre points, il y a six distances possibles.

Par exemple, pour un carré ABCD il faut examiner les distances AB, AC, AD, BC, BD et CD. Sur un carré, on trouve quatre distances identiques et deux autres plus longues, identiques entre elles. Un carré de 5 cases de côté aura quatre distances à 5 (les côtés) et deux distances à peu près à 7 (les diagonales).

Comme on calcule en nombre entiers, on optimise en utilisant le carré des distances. L'exemple du carré de 5 cases produit alors les distances (au carré) suivantes : 25,25,50,25,25,50. Comme le programme ignore les diagonales et les côtés, il ordonne les distances trouvées pour obtenir : 25,25,25,25,50,50.

Il suffit donc de vérifier que les distances sont du style :
[x, x, x, x, 2*x, 2*x].

Le programme est disponible sur GitHub sous licence WTFPL.

Edit : Il n'est en fait pas nécessaire de tester que les carrés des diagonales sont le double des carrés des cotés. Il suffit de vérifier que les distances sont ainsi : [x, x, x, x, y, y]. Dans ce cas, y est forcément de double de x. Le programme a été mis à jour en conséquence.


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